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5 janvier 2006

Réalisation du déterminant discriminatoire

Le cours de mathématique de Madame Quisenaire ressemblait à s’y méprendre à un cours de philologie, tant était grande la précision du vocabulaire et fluide la diction, même dans les moments les plus tragiques de ses crises d’alcool. Quant à ses tableaux, ils étaient le plus souvent d’une limpide clarté et parfaitement calligraphiés.

_____________________________

Ce que nous allons voir aujourd’hui est absolument fondamental. Ecoutez bien et suivez de près.

Soit à rechercher les solutions d’une équation qui se présente sous la forme d’un trinôme du second degré. Les coefficients respectifs des puissances décroissantes de l’inconnue, notée « x », sont désignés respectivement par « a », « b » et « c ».

tableau_second_degr_1

Par commodité, mettons en évidence le coefficient de x carré. Nous pouvons le faire, celui-ci n’étant pas nul. S’il l’était, l’équation serait du premier degré et admettrait pour solution unique moins c sur b, pour autant que b ne soit pas nul lui non plus. Auquel cas, notre expression de départ ne contiendrait plus d’inconnue.

Essayons de transformer le polynôme obtenu en un trinôme « carré parfait ». Le double produit est constitué par le terme du premier degré, dont le coefficient est b sur a. En toute logique, le terme indépendant doit être b carré sur quatre a carrés. Ajoutons ce terme, et retranchons-le immédiatement, afin de ne rien modifier à l’égalité de départ.

Ecrivons maintenant le trinôme carré parfait sous la forme du carré d’un binôme. Cela donne x plus b sur deux a, le tout au carré. Réduisons ce qui reste au même dénominateur (quatre a carrés). Le numérateur devient quatre a c moins b carré. Ecrivons enfin cette expression sous forme d’une différence : nous lisons, a que multiplie x plus b sur 2 a, le tout au carré, moins b carré moins quatre a c sur quatre a carrés, égale zéro.

A condition que b carré moins quatre a c soit positif, ceci constitue une différence de deux carrés, qui est factorisable. Dans le cas contraire, nous aurions une somme de deux carrés, qui donne toujours un nombre strictement positif. L’équation, dans ce cas, n’admet pas de solution réelle.

Reprenons le premier cas et la différence des deux carrés, qui se factorise en le produit des deux binômes conjugués formés sur les racines desdits carrés. Nous lisons : a, que multiplie x plus b sur deux a moins racine de b carré moins quatre a c sur deux a, que multiplie x plus b sur deux a plus racine de b carré moins quatre a c sur deux a, égale zéro.

tableau_second_degr_21

Il s’agit d’un produit nul, l’équation admet donc deux solutions réelles qui sont respectivement moins b plus racine de b carré moins quatre a c sur deux a, et moins b moins racine de b carré moins quatre a c sur deux a.

En pratique, lorsque nous nous trouvons devant une équation du second degré écrite sous la forme initiale, nous calculerons tout d’abord la valeur de b carré moins quatre a c, que nous appellerons déterminant ou discriminant, noté D (delta) ou encore réalisant, noté r (rhô). Si cette valeur est négative, nous dirons que l’équation, n’admettant pas de solution réelle, est impossible. Si cette valeur est positive, nous dirons que l’équation admet deux solutions réelles, que nous calculerons au moyen des expressions citées plus haut. Notons encore que si le déterminant est nul, les deux solutions seront confondues en une seule, dont la valeur sera moins b sur deux a. Ceci correspondrait simplement au cas où l’expression de départ serait déjà elle-même un carré parfait.

tableau_second_degr_3

Voilà, ça, ce n’est que la théorie. Maintenant, nous allons passer aux exercices.

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Je vous laisse imaginer ce que ça pouvait donner, toutes ces lettres qui batifolaient sur le tableau en même temps que la main de Cyril sur ma cuisse (et quelque fois un peu plus haut). Quand d’ailleurs, ce n’était pas la mienne qui s’en allait palper son anatomie, pendant les pauses d’écriture.

Ce qui devient l’enfance de l’art pour tout qui entreprend un tant soit peu d’études supérieures comprenant un cours de mathématiques, même minimaliste, ne représentait alors pour nous qu’une sorte de nature morte de symboles bizarres. Ces tableaux, dans tous les sens du terme, étaient néanmoins agréables à admirer, et, tels une Joconde, ils ne laissaient transparaître autre chose, outre leur beauté, qu’un mystère à percer.

Madame Quisenaire, où que vous soyez, grâce vous soit rendue.


Le quart d'heure de bon temps. Boileau.

L'homme, dont la vie entière
Est de quatre-vingt-seize ans,
Dort le tiers de sa carrière,
C'est juste trente-deux ans.

Ajoutons pour maladies,
Procès, voyages, accidents
Au moins un quart de la vie,
C'est encore deux fois douze ans.

Par jour deux heures d'études
Ou de travaux -- font huit ans,
Noirs chagrins, inquiétudes --
Pour le double font seize ans.

Pour affaires qu'on projette
Demi-heure, -- encore deux ans.
Cinq quarts d'heures de toilette :
Barbe et caetera -- cinq ans.

Par jour pour manger et boire
Deux heures font bien huit ans.
Cela porte le mémoire
Jusqu'à quatre-vingt-quinze ans.

Reste encore un an pour faire
Ce qu'oiseaux font au printemps.
Par jour l'homme a donc sur terre
Un quart d'heure de bon temps.

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